Matrizes e o $R^n$

Antes de começar gostaria de dizer que fiz uma revisão no post da semana passada.
Vamos definir matrizes como um vetor de vetores (essa definição é muito utilizada na computação e para nós é mais que suficiente). Temos então que a matriz $M$ composta de dois vetores compostos de dois escalares cada é expresso por $$M = \left( \begin{array}{cc}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array} \right)$$
Envolvendo matrizes temos três operações: soma, multiplicação por escalar e multiplicação por matriz. As duas primeiras são muito parecidos com as operações envolvendo matrizes apresentadas no neste post e vamos apenas enunciá-las a seguir:

• Soma: 

$$ M + N =  \left( \begin{array}{cc} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} n_{11} & n_{12} \\ n_{21} & n_{22} \end{array} \right)  =  \left( \begin{array}{cc} m_{11} + n_{11} & m_{12} + n_{12} \\ m_{21} + n_{21} & m_{22} + n_{22} \end{array} \right) $$

• Multiplação por escalar

$$ aM = a \left( \begin{array}{cc} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{array} \right) =  \left( \begin{array}{cc} a m_{11} & a m_{12} \\ a m_{21} & a m_{22} \end{array} \right) $$

Já a multiplicação por matriz pode ser resumida como o produto interno entre os vetores linha da primeira matriz e os vetores coluna da segunda matriz, isto é, $$M \times N = \left( \begin{array}{c} m_1^T \\ m_2^T \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{cc} n_1 & n_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} <m_1^T, n_1> & <m_1^T, n_2> \\ <m_2^T, n_1> & m_2^T, n_2> \end{array} \right)$$

Vamos então ao exemplo (continuando com o chapati).

Suponhamos agora que além do chapati apresentado neste post também vamos fazer substituindo a farinha de trigo por farinha de trigo integral.
Suponhamos então que $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$ correspondam respectivamente a uma unidade de farinha de trigo, uma unidade de água morna e uma unidade de farinha de trigo integral. Temos então que o chapati é representado por $(2, \frac{3}{4},0)$ e o chapati integral por $(0, \frac{3}{4}, 2)$. Podemos ainda utilizar uma matriz para representar os chapatis $$\left( \begin{array}{ccc} 2 & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & 2 \end{array} \right)$$ onde a primeira linha representa o chapati e a segunda o chapati integral.
Se desejar-mos saber qual o peso do chapati e do chapati integral podemos utilizar o produto por matriz abaixo $$\left( \begin{array}{ccc} 2 & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & 2 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1  \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{11}{4}  \\ \frac{11}{4} \end{array} \right) $$
onde a primeira linha da resposta corresponde ao peso do chapati e a segunda linha ao peso do chapati integral.